a+ibНақты сандар жиыны толық тұйықталған сандар жүйесі емес. Сондықтан нақты сандар шеңберінде физикадағы (әрине, математикадағы да) көптеген мәселелерді шешу мүмкін емес, не шешімі өте қиындап, түсінуге де ауыр болып кетеді.
Комплексті сандар коммутативті математикадағы сан ұғымының ең толық түрі. Коммутативті математика деген біз қазір қолданып жүрген қосылғыштардың орнын немесе көбейткіштердің орнын ауыстырғаннан нәтиже өзгермейді деген қағидаға сүйенетін математика. Сан ұғымының толықтығы – бұл комплексті сандар математикасының қуаттылығының құпиясы. Комплексті сандардың өзін жалпылайтын кватерниондар математикасы көбейту амалына қатысты коммутативті емес, яғни көбейткіштердің орны ауысқанда нәтитже де өзгереді.
Осыған байланысты кез-келген ғылымның математикасы комплексті сандар математикасы болуы керек. Басқаша болуы мүмкін емес. Бірақ мәселе мынада – ғылымдардың ішінде тек физика ғана қазірше барынша математиканы пайдаланады. Сондықтан математиканың әдіс-тәсілдері физикаға терең еніп кетті. Ал басқа салаларға, мысалы, биология, химия, экономика, әлеуметтану, экология, медицина және т.б., математика енді батыл еніп жатыр.
Біртіндеп ол салаларда да комплексті сандар математикасы қалқып шығып, өз қуатын, кең мүмкіндіктерін көрсететіні анық. Тарихқа көз жүгіртейікші, осыдан 150 жылдай алдын физикада ешқандай комплексті сандар қолданылмайтын, оларды математиктер жан-жақты зерттеп жатқан, бірақ олардың өзі комплексті және жорамал сандарды «шайтанның сәпсатасы» деп қабылдаған еді. Қазір ол жабайы көзқарас болып қалды.

Комплекс сандарды және жорамал бірлік i – ді () қолдану көптеген аралық математикалық есептеулерді өте жеңілдетеді. Мысалы, үшінші дәрежелі теңдеулердің түбірлерін есептеуге арналған Кардано формулалары:

card24

Кардано куб теңдеулердің комплексті шешімдерін тапты. Оның шешімдерін-де жорамал бірлік i бар. Іс жүзінде, Кардано формулаларын қолдану арқылы үшінші дәрежелі теңдеудің не үш нақты түбірлерін, не бір нақты және екі комплексті түбілерін шығарып аламыз. Өз заманында үшінші дәрежелі теңдеуді шешу өте көкейкесті мәселе болған, онымен көптеген атақты математиктер шұғылданған, өйткені, оны бу машиналарын есептеп, істетуге пайдаланған,мысалы Ватт машинасын.

Қазіргі кезде дәл сол себептермен комплексті сандар мен жорамал бірлік i электротехникада айнымалы ток тізбегіндегі есептеулер үшін қолданылады:

a+ib

Себептер сол баяғы – есептеулер барынша қарапайым және көрнекі орындалады. Кейбір есептерде комплексті шешімдер бір мезгілде бірнеше маңызды мәселелерге жауап береді. Мысалы, электр тербелмелі контурды есептегенде комплексті жиілік пайда болды. Бұл не?! Сөйтсек, таңқалатын ештеңе де жоқ екен – комплекс санның нақты бөлігі электр тербелістерінің жиілігін береді екен, ал жорамал бөлігі еріксіз тербелістің өшу уақытын сипаттайтын болып шықты. Дәл осы сияқты мысалдар өте көп.

электрондық курстар
электрондық қорға өтіңіз >>